Σήμερα, είναι η μέρα του π.
Η παγκόσμια ημέρα της σταθεράς π δεν απευθύνεται αποκλειστικά σε μαθηματικούς και γιορτάζεται κάθε χρόνο στις 14 Μαρτίου, εξαιτίας κάποιων αριθμητικών συμπτώσεων που συμβαίνουν την ημέρα αυτή. Στην Αμερική για παράδειγμα, η 14/3 γράφεται ως 3-14, δηλαδή η τιμή της σταθεράς (π=3,14).
Ο εορτασμός της ημέρας του “π” καθιερώθηκε το 1988 από τον Larry Shaw στο Φρανσίσκο. Γιορτάζεται, δε, με την …κατανάλωση στρογγυλών πιτών επειδή στα αγγλικά το ελληνικό γράμμα π θυμίζει την αγγλική λέξη pie (πίτα) η οποία προφέρεται ως “πάι”.
Όμως τι είναι το π; Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία, και ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία. Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα "π" (πι) της λέξης «περιφέρεια», και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi, όταν δεν είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες. Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη (δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό του Αρχιμήδη) ή αριθμός του Λούντολφ.
Η μαγεία του π όμως δεν συγκινεί μόνον τους μαθηματικούς αλλά εκατοντάδες χιλιάδες απλούς ανθρώπους σε όλο τον κόσμο, που αντιλαμβάνονται το θέμα ως ένα από τα πιο δημοφιλή παράξενα στην ιστορία της σκέψης.
Μάλιστα, το 1998 ένας ανεξάρτητος Αμερικανός σκηνοθέτης, ο Ντάρεν Αρονόφσκι, γύρισε μία από τις πιο παράξενες ταινίες του σινεμά το "π", όπου ο πρωταγωνιστής (ένας νεαρός μαθηματικός με εμμονή στην κρυπτογραφία) προσπαθεί μέσω του π να βρει τον παγκόσμιο αλγόριθμο που θα αποκάλυπτε οριστικά την κοσμική συμμετρία και θα έδινε έναν και μοναδικό τρόπο υπολογισμού συμμετριών, από το χρηματιστήριο, έως τον Θεό. Φυσικά το αποτέλεσμα τον οδηγεί στην τρέλλα.
(πηγή :http://news247.gr 14 Μαρτίου 2010)
Ο αριθμός π ή η σταθερά
του Αρχιμήδη
Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος
Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03
Το άρθρο
αυτό γράφτηκε με αφορμή την καθιέρωση της 14ης Μαρτίου1 ως παγκόσμιας ημέρας2 της σταθεράς π. Έτσι,
μας δίνεται η ευκαιρία να αναφερθούμε στη σημασία,στην ιστορία
και στις ιδιότητες του αριθμού π που, όπως λέει και ο Ίαν Στιούαρτ3, είναι ο
πιο ενδιαφέρων αριθμός. Πιστεύω πως θα συμφωνήσουμε ότι
είναι ο πιο ενδιαφέρων αριθμός, αν αναλογιστούμε τις εφαρμογές
του στα Μαθηματικά, στη Φυσική και στηΜηχανολογία,
τις προσπάθειες που έχουν γίνει για τον υπολογισμό του,
τις ιδιότητές του,αλλά και τη σύνδεσή του με το
περίφημο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου. Η πρόταση
για την καθιέρωση της 14ης Μαρτίου ως παγκόσμιας ημέρα
του π έγινε το
1988 από τον φυσικό του Exploratorium του San Francisco Larry Shaw4.
Επιλέχθηκε η ημέρα αυτή, γιατί στον
αμερικάνικο τρόπο γραφής της ημερομηνίας, που όπως
γνωρίζουμε προηγείται ο μήνας της ημέρας, η παραπάνω
ημερομηνία γράφεται ως εξής: 3 -14 ή 3 / 14, που θυμίζει
τα 3 πρώτα ψηφία της ρητής προσέγγισης του π εκφρασμένης στο δεκαδικό σύστημα
αρίθμησης (δεκαδική προσέγγιση).
Αρχαίοι
λαοί είχαν παρατηρήσει ότι όταν το μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου διαιρεθεί με
τη διάμετρό του, τότε το πηλίκο είναι το ίδιο
για όλους τους κύκλους. Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι απέδιδαν
αυτόν τον λόγο με το κλάσμα 25/8 (19ος αιώνας π.Χ.),
οι δε Αιγύπτιοι, όπως προκύπτει από πάπυρο του
17ου αιώνα π.Χ.,
με το κλάσμα 256/81. Επίσης και άλλοι λαοί,
όπως Πέρσες, Ινδοί,
Κινέζοι προσπάθησαν να υπολογίσουν τον αριθμό αυτό.
Εκείνος,
όμως, που προσπάθησε πρώτος να προσεγγίσει
τον παραπάνω λόγο με θεωρητικό τρόπο και όχι εμπειρικά ήταν ο Αρχιμήδης (3ος αιώνας
π.Χ.). Ο Αρχιμήδης προσεγγίζοντας τον
κύκλο με εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα5 και φθάνοντας στα πολύγωνα με
96 πλευρές κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο παραπάνω λόγος
είναι μεταξύ των ρητών αριθμών 3 και10/7 = 223/7και 3
και1/7 = 22/7. Ο Αρχιμήδης θεώρησε ότι αυτή η προσέγγιση είναι πολύ
καλή και γι’ αυτό σταμάτησε.
Από πολλούς όμως εικάζεται ότι στην εργασία του «Κύκλου μέτρησις», το πρωτότυπο της οποίας δυστυχώς
δεν βρέθηκε, οδηγήθηκε στην
προσεγγιστική τιμή 3,1416 χρησιμοποιώντας πολύγωνα με 384
πλευρές. Την ίδια προσέγγιση ισχυρίστηκαν
ότι πέτυχαν και οι Ινδοί, χωρίς όμως να υπάρχουν τεκμήρια
τα οποία να υποστηρίζουν αυτόν τον ισχυρισμό. Γι’
αυτό λοιπόν δίκαια ο παραπάνω λόγος είναι γνωστός διεθνώς ως σταθερά του Αρχιμήδη.
Ο Αρχιμήδης
άνοιξε το δρόμο για μια θεωρητική προσέγγιση του π. Έτσι,
όσοι ασχολήθηκαν μετά τον Αρχιμήδη με το θέμα,
και είναι πάρα πολλοί, ακολούθησαν
το πνεύμα του Αρχιμήδη. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε τον
γερμανό Ludolph van Ceulen (Τσόιλεν),ο οποίος στις αρχές του 17ου αιώνα
μ.Χ. υπολόγισε τα 35
πρώτα ψηφία της δεκαδικής προσέγγισης του π χρησιμοποιώντας κανονικά πολύγωνα
με 262 πλευρές. Η τιμή αυτή
του π σύμφωνα
με επιθυμία του γράφτηκε πάνω στην επιτύμβια στήλη του.
Επίσης, ο Γουίλιαμ Σανκς κάνοντας υπολογισμούς για 20
χρόνια ανακοίνωσε το 1873 τα 707
πρώτα δεκαδικά ψηφία. Όμως,
η προσπάθειά του αυτή υπέστη σοβαρό πλήγμα,
όταν με τη βοήθεια των πρώτων υπολογιστών6 (1945) ανακαλύφθηκε ότι είχε κάνει λάθος
στο 528ο ψηφίο αχρηστεύοντας έτσι όλα
τα επόμενα ψηφία.
Το 1706
ο Ουαλός μαθηματικός Γουίλιαμ Τζόουνς στο βιβλίο
του «Μία Νέα Εισαγωγή στα Μαθηματικά»
συμβόλισε πρώτος τη σταθερά του Αρχιμήδη με το ελληνικό γράμμα π, αρχικό γράμμα της ελληνικής λέξης
«περιφέρεια»,.
Το σύμβολο π
όμως καθιερώθηκε και χρησιμοποιείται σήμερα διεθνώς7 όταν το χρησιμοποίησε και ο Euler το 1737 στο βιβλίο του “Variae Observationes circa series infinitas”.
Αξίζει να
αναφερθούν ακόμη δύο σταθμοί στην ιστορία του π.
Το 1767
ο Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ απέδειξε
ότι ο π είναι άρρητος
αριθμός και
Το 1882
ο Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν απέδειξε
ότι ο αριθμός π είναι υπερβατικός,
δηλαδή δεν αποτελεί ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης με ρητούς ή ισοδύναμα
με ακέραιους συντελεστές.
Η τελευταία
απόδειξη έδωσε την τελική απάντηση στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου και
συγκεκριμένα ότι ο κύκλος δεν τετραγωνίζεται, αφού,
σύμφωνα με θεώρημα της Θεωρίας των Ομάδων,
δεν μπορεί να κατασκευαστεί ευθύγραμμο τμήμα μήκους π (ή ισοδύναμα
μήκους 
) επειδή ο π είναι υπερβατικός αριθμός.
Τελειώνοντας
αναφέρουμε ότι σε πολλές γλώσσες έχουν επινοηθεί διάφορα στιχάκια για την εύκολη
απομνημόνευση των πρώτων ψηφίων της δεκαδικής προσέγγισης του π,όπου ο αριθμός
των γραμμάτων κάθε λέξης συμπίπτει με το αντίστοιχο ψηφίο.
Στην ελληνική γλώσσα υπάρχει το παρακάτω τετράστιχο,
το οποίο αποδίδεται στον καθηγητήτων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου
Αθηνών Νικόλαο Ι. Χατζηδάκη (1872
– 1942),γιο του διακεκριμένου καθηγητή του Πανεπιστημίου Αθηνών
Ιωάννη Χατζηδάκη:
Αεί ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί
το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω
παρήγαγεν αριθμόν απέραντον
και ον φευ! ουδέποτε όλον θνητοί
θα εύρωσι
το οποίο
αντιστοιχεί στην παρακάτω δεκαδική προσέγγιση του π
3,1415926535897932384626.
Παρατηρούμε
ότι στο παραπάνω τετράστιχο ο Νικόλαος Χατζηδάκης επέκτεινε περίτεχνα τη γνωστή
φράση του Πλάτωνος «Αεί ο Θεός γεωμετρεί»
και δημιούργησε αυτό το αριστοτέχνημα στο οποίο προσπαθεί να περιγράψει
τον αριθμό π.
Κλείνοντας
αναφέρουμε ότι ο Πλάτων έτρεφε μεγάλη εκτίμηση προς τα Μαθηματικά και αναγνωρίζοντας
την μεγάλη παιδευτική αξία των Μαθηματικών και ιδιαίτερα της Γεωμετρίας είχε γράψει
στην είσοδο της Ακαδημίας την επιγραφή: «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω».
1 Η ημέρα αυτή είναι και η ημέρα γενεθλίων του Αϊνστάιν.
2 Σε πολλές ευρωπαϊκές χώρες γιορτάζεται και στις 22 Ιουλίου (22
/ 7), ημερομηνία που οπτικά θυμίζει τη
ρητή προσέγγιση του Αρχιμήδη για το π, δηλαδή το 22/7
3 «Όλοι οι αριθμοί είναι ενδιαφέροντες, μερικοί όμως είναι πιο ενδιαφέροντες από τους άλλους και ο π είναι ο πιο ενδιαφέρων
από όλους».
Ίαν Στιούαρτ, Καθηγητής των Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Γουόρικ.
4 Το 2009
εγκρίθηκε και από τη Βουλή των Αντιπροσώπων
των Η.Π.Α.
5 Ο Αρχιμήδης αξιοποίησε τη μέθοδο της προσέγγισης του κύκλου με πολύγωνα
που είχαν διατυπώσει και εφαρμόσει νωρίτερα (5ος αιώνας
π.Χ.)
ο Αντιφών και ο Βρύσων, οι οποίοι ασχολήθηκαν με το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου. Ο Αρχιμήδης ξεκίνησε με κανονικά εξάγωνα και διπλασιάζοντας τον αριθμό
των πλευρών των πολυγώνων έφθασε στα κανονικά 96-γωνα.
6 Σήμερα με τη βοήθεια των σύγχρονων υπολογιστών έχουν υπολογισθεί
δεκάδες δισεκατομμύρια ψηφία του π.
7 Όσοι δεν έχουν ελληνικούς χαρακτήρες στους υπολογιστές τους γράφουν
pi.
Πηγές:
1. Αρτεμιάδης Κ. Νικόλαος: «Στοιχειώδης Γεωμετρία από Ανώτερη Σκοπιά».
Ελ-
ληνική Μαθηματική
Εταιρεία (1998).
2. Gino Loria: «Ιστορία των Μαθηματικών». Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
(1971).
3. Steve Connor: «Η πολυτάραχη ζωή της ΣΤΑΘΕΡΑΣ π». ΒΗΜΑSCIENCE, Κυ-
ριακή 19
Μαρτίου 2006.
4. Ιστότοποι:
i. http://www.tmth.gr/sciencerelated/61-mathematics/309-pagkosmies-hmeres
ii. www.exploratorium.edu/pi/
iii. www.math-her.gr
iv. www.scribd.com/doc/47098380/Περιοδικό-Φύση-και-Μαθηματικά
v. http://www.cosmoscience.gr/2011/01/03/η-παγκόσμια-σταθερά-π
vi. http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf
